TL TD 00 - Introduction

1 On donne la relation définie sur \( \mathbb{R} \) suivante :

$$ a \mathcal{R}b \Longleftrightarrow a^2-b^2=a-b $$

1. Montrer que la relation \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence.
2. Précisez la classe de représentant \( 2 \), de représentant \( m \) en général.

Définition

On considère $\mathcal{R}$ une relation définie sur un ensemble $A$. Alors on dit que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence lorsqu’elle respecte les trois propriétés suivantes :

• Elle est réflexive :

$$\forall x\in A\text{ on a }x\mathcal{R}x$$

• Elle est symétrique :

$$\forall x,y\in Ax\mathcal{R}y⟺y\mathcal{R}y$$

• Elle est transitive :

$$\forall x,y,z\in A(x\mathcal{R}y\text{ et }y\mathcal{R}z)⟹x\mathcal{R}z$$

$\boxed{\text{Question 1}}$
(i) Montrons que la relation $\mathcal{R}$ est réflexive
Soit $a\in \mathbb{R}$.
Alors on a :

• $a^2-a^2=0$
• $a-a=0$ On se retrouve donc bien avec $a\mathcal{R}a$, ainsi la relation $\mathcal{R}$ est réflexive. Car tout élément de $\mathbb{R}$ est en relation avec lui-même comme on vient de le montrer.

(ii) Montrons que la relation $\mathcal{R}$ est symétrique.
En gros on doit montrer qu’à partir de $x\mathcal{R}y$ on arrive à retrouver $y\mathcal{R}x$.
Par définition de la symétrie :

$$\begin{array}{rlr}x\mathcal{R}y⟺a-b& =a^2-b^2& \\ -(a-b)& =-(a^2-b^2)& \\ -a+b& =-a^2+b^2& \\ b-a& =b^2+a^2& ⟺y\mathcal{R}x\end{array}$$

On a en fait inverser l’entièreté de l’équation de base et utiliser la commutativité de $(\mathbb{R},-)$ pour réarranger les différents termes et arriver à l’expression voulue $b-a=b^2-a^2$.
On retrouve bien la relation miroir à partir de $x\mathcal{R}y$ ainsi $\mathcal{R}$ est symétrique.

(iii) Montrons que la relation $\mathcal{R}$ est transitive.
Soit $x,y,z\in \mathbb{R}$,
Alors par définition on a $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$ ainsi :

$$x\mathcal{R}y⟺x-y=x^2-y^2\text{ et }y\mathcal{R}z⟺y-z=y^2-z^2$$

On cherche à obtenir $a-z=a^2-z^2$ à partir des données que l’on a.
On peut additionner les deux expressions conjecturées par définition.

$$\begin{array}{rl}x\mathcal{R}y+y\mathcal{R}z⟺(x-y)+(y-z)& =(x^2-y^2)+(y^2-z^2)\\ x\cancel{-y}\cancel{+y}-z& =x^2\cancel{-y^2}\cancel{+y^2}-z^2\\ x-z& =x^2-z^2⟺x\mathcal{R}z\end{array}$$

On obtient donc bien que la relation $\mathcal{R}$ est transitive.

D’après (i), (ii) et (iii) la relation $\mathcal{R}$ est réflexive, symétrique et transitive ce qui fait de elle une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.

$\boxed{\text{Question 2}}$
On cherche a déterminer la classe de représentant $2$ puis de représentant général $m\in \mathbb{R}$.

Définition

Soit $\mathcal{R}$ une relation définie sur un ensemble quelconque $E$.
On appelle classe de représentant $m\in E$ (ou classe d’équivalence) l’ensemble de tous les éléments $x\in E$ tel que l’on a $x\mathcal{R}m$.
On note :

$$\stackrel{\cdot }{m}=\{x\in E\mid x\mathcal{R}m\}$$

Autrement dit, une classe de représentant $m$ représente l’ensemble de tous les éléments qui sont en relation avec $m$.

Remarque

Une classe de représentant $m$ peut se noter $\stackrel{\cdot }{m}$ ou $\overline{m}$ ou encore $C(m)$.

Ainsi, la classe de représentant $2$ représente l’ensemble des $x\in \mathbb{R}$ en relation avec $2$.
On note :

$$\begin{array}{rl}\stackrel{\cdot }{2}& =\{x\in \mathbb{R}\mid x\mathcal{R}2\}\\ & =\{x\in \mathbb{R}\mid x-2=x^2-2^2\}\end{array}$$

En prenant l’équation obtenue on a :

$$\begin{array}{rl}x-2& =x^2-2^2\\ & =(x-2)(x+2)\end{array}$$

Warning

Il ne faut pas que $x=2$ car sinon notre équation ne pourrait plus se résoudre car si on déplace $x+2$ à gauche de l’équation, on doit le diviser. Cela est valide $\forall x\ne 2$.

$$\begin{array}{rl}x-2& =x^2-2^2\\ & =(x-2)(x+2)\\ 1\cancel{(x-2)}& =\cancel{(x-2)}(x+2)\\ 1& =x+2\end{array}$$

D’où $x=1-2=-1$.
Cela signifie que $-1$ appartient à l’ensemble.
Et puisque la relation est réflexive comme montrée à la question $1$, alors $2$ est en relation avec lui même d’où $2$ fera lui aussi partie de l’ensemble.
On obtient la classe de représentant $2$ suivante :

$$\stackrel{\cdot }{2}=\{-1,2\}$$

Maintenant, il faut faire pareil mais plus avec un réel donné mais avec un représentant général qui peut désigner n’importe lequel des réels. Dans la consigne il a été nommé $m$.
On cherche :

$$\begin{array}{rl}\stackrel{\cdot }{m}& =\{x\in \mathbb{R}\mid x\mathcal{R}m\}\\ & =\{x\in \mathbb{R}\mid x-m=x^2-m^2\}\end{array}$$

Même procédé que pour trouvé la classe précédente :

$$\begin{array}{rlrl}x-m& =x^2-m^2& & \\ x-m& =(x-m)(x+m)& & \\ 1\cancel{x-m}& =\cancel{(x-m)}(x+m)& & \\ 1& =x+m& \forall x& \ne m\\ x& =1-m& & \end{array}$$

On obtient alors que $x=1-m$, et on oublie pas que $\mathcal{R}$ est réflexive donc $m$ appartiendra à l’ensemble.
D’où :

$$\stackrel{\cdot }{m}=\{m,1-m\}$$

2 Soit \(A\) une partie donnée d'un ensemble \(E\).

On considère la relation \(\mathcal{R}\) dans \(\mathcal{P}(E)\) définie par : $$ X \mathcal{R}Y \Longleftrightarrow A \cap X = A \cap Y $$

1. Montrer que la relation \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence.
2. Donner l'ensemble quotient lorsque \(A=\emptyset\) et \(A=E\).

Remarque

Pour rappel, l’ensemble $\mathcal{P}(E)$ représente l’ensemble de toutes les parties de $E$. En gros l’ensemble contient tous les sous-ensembles possible de créer étant partie de $E$.

$\boxed{\text{Question 1}}$
Montrons que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence.

(i) Réflexivité
Soit $X\in \mathcal{P}(E)$.
Alors il est évident que $A\cap X=A\cap X$ on se retrouve bien avec $X\mathcal{R}X$. La relation $\mathcal{R}$ est donc évidemment réflexive.

Warning

Pour rappel les ensembles sont notés grâce à une lettre majuscule par convention…

(ii) Symétrie
Soit $X,Y\in \mathcal{P}(E)$.
Alors on a : $X\mathcal{R}Y⟺A\cap X=A\cap Y$.
On sait que l’opération $=$ est commutative sur tout ensemble $E$ alors $(\mathcal{P}(E),=)$ est commutative d’où :

$$A\cap X=A\cap Y⟺A\cap Y=A\cap X$$

Ainsi, $\mathcal{R}$ est symétrique.

(iii) Transitivité
Soit $X,Y,Z\in \mathcal{P}(E)$.
Alors on a :

• $X\mathcal{R}Y⟺A\cap X=A\cap Y$
• $Y\mathcal{R}Z⟺A\cap Y=A\cap Z$

Puisque $A\cap Y=A\cap Z$ alors on obtient :

$$\begin{array}{rl}A\cap X& =A\cap Y\\ & =A\cap Z⟺X\mathcal{R}Z\end{array}$$

La relation $\mathcal{R}$ est donc bien transitive.
D’après (i), (ii) et (iii) la relation $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence.

$\boxed{\text{Question 2}}$
L’ensemble quotient représente l’ensemble de toutes les classes de représentant $M\in \mathcal{P}(E)$.
Si $A=\varnothing$, l’ensemble vide alors :

$$\forall X,Y\in \mathcal{P}(E),X\mathcal{R}Y=\varnothing \cap X=\varnothing \cap Y$$

On sait que pour l’intersection, $\varnothing$ est l’élément absorbant, en gros que $\forall E$, $E\cap \varnothing =\varnothing$ alors l’égalité suivante est vérifiée pour toutes les parties de $E$.
Ainsi on note l’ensemble quotient :

$$E/\mathcal{R}=\mathcal{P}(E)$$

Maintenant, si $A=E$.
On cherche à savoir pour quels $X,Y$ parties de $E$ la relation est respectée :

$$\forall X,Y\in \mathcal{P}(E),X\mathcal{R}Y=E\cap X=E\cap Y$$

On sait que pour l’intersection $E$ l’ensemble englobant tous les autres est élément neutre, c’est à dire qu’il ne change pas l’issu du résultat. Ainsi pour toutes parties $A$ de $E$ on a $A\cap E=A$.
Ainsi

$$E\cap X=E\cap Y⟺X=Y$$

Autrement dit, la relation est respectée si et seulement si $X$ et $Y$ désignent le même ensemble.
D’où :

$$E/\mathcal{R}=\{X,Y\in \mathcal{P}(E)\mid X=Y\}$$

3 On considère sur \(\mathbb{R}\) la loi \(\star\) définie par :

$$ x \star y = axy+b(x+y)+c $$ Trouver une relation liant \(a, b\) et \(c\) de sorte que cette loi soit associative.

Définition

On dit qu’un loi $T$ définie sur $E$ est associative si et seulement si :

$$\forall x,y,z\in E(xTy)Tz=xT(yTz)$$

Si ceci est respecté, on dit que le magma $(E,T)$ est associatif.

Pour commencer, il serait bien de regarder dans quel(s) cas $\star$ est une loi associative. Pour ce faire, nous allons calculer individuellement :

• $(x\star y)\star z$
• $x\star (y\star z)$

Les étapes de calculs sont données ci contre :
Calcul de la première expression

$$\begin{array}{rl}(x\star y)\star z& =[axy+b(x+y)+c]\star z\end{array}$$

Si on pose que $X=x\star y$ alors $X=axy+b(x+y)+c$ d’où :

$$\begin{array}{rl}(x\star y)\star z& =X\star z\\ & =aXz+b(X+z)+c\\ & =a(\underset{=X}{\underbrace{[axy+b(x+y)+c]}}\times z)+b(\underset{=X}{\underbrace{[axy+b(x+y)+c]}}+z)+c\end{array}$$

Maintenant il reste plus qu’à rester extrêmement rigoureux et à développer jusqu’à la fin.

$$\begin{array}{rl}(x\star y)\star z& =a(\underset{=X}{\underbrace{[axy+b(x+y)+c]}}\times z)+b(\underset{=X}{\underbrace{[axy+b(x+y)+c]}}+z)+c\\ & =a(axyz+bz(x+y)+cz)+abxy+b^2(x+y)+bc+bz+c\\ & =a^{2}xyz+abz(x+y)+acz+abxy+b^{2}x+b^{2}y+bc+bz+c\\ & =a^{2}xyz+abxz+abyz+acz+abxy+b^{2}x+b^{2}y+bc+bz+c\end{array}$$

Calcul de la seconde expression

$$\begin{array}{rl}x\star (y\star z)& =x\star [ayz+b(y+z)+x]\\ & =a(x[ayz+b(y+z)+c])+b(x+[ayz+b(y+z)+c])+c\\ & =a(axyz+bx(y+z)+cx)+bx+abyz+b^2(y+z)+bc+c\\ & =a^{2}xyz+abx(y+z)+acx+bx+abyz+b^{2}y+b^{2}z+bc+c\\ & =a^{2}xyz+abxy+abxz+acx+bx+abyz+b^{2}y+b^{2}z+bc+c\end{array}$$

on a alors obtenu les deux expressions suivantes :

$$\{\begin{array}{l}{a}^{2}xyz+abxz+abyz+acz+abxy+b^{2}x+b^{2}y+bc+bz+c\\ a^{2}xyz+abxy+abxz+acx+bx+abyz+b^{2}y+b^{2}z+bc+c\end{array}$$

Maintenant, on peut soustraire les deux expressions, en théorie, cela devrai être différent de $0$ car on nous demande de trouver un lien reliant $a,b$ et $c$ pour que la loi soit associative.

$$\{\begin{array}{l}\cancel{a^{2}xyz}+\cancel{abxz}+\cancel{abyz}+acz+\cancel{abxy}+b^{2}x+\cancel{b^{2}y}\cancel{+bc}+bz\cancel{+c}\\ \cancel{a^{2}xyz}+\cancel{abxy}+\cancel{abxz}+acx+bx+\cancel{abyz}+\cancel{b^{2}y}+b^{2}z+\cancel{bc}\cancel{+c}\end{array}$$

La soustraction des deux lignes nous donne :

$$acz+b^{2}x+bz-(acx-bx+b^{2}z)$$

Essayons de simplifier cette expression.

$$\begin{array}{rl}acz+b^{2}x+bz-(acx-bx+b^{2}z)& =acz+b^{2}x+bz-acx-bx-b^{2}z\\ & =ac(z-x)+b^2(x-z)+b(z-x)\end{array}$$

On remarque que tous les facteurs sauf $1$ sont de la forme $e(x-z)$, essayons de faire en sorte que cela soit pareil, pour ce faire on a juste à inverser le signe de $b^2(x-z)$ :

$$-(b^2(x-z))=-b^2(-x+z)=-b^2(z-x)$$

D’où :

$$ac(z-x)+b^2(x-z)+b(z-x)=ac(z-x)+b^2(z-x)+b(z-x)=(ac+b^2+b)(z-x)$$

On cherche maintenant le lien entre $a,b$ et $c$ pour que $\star$ soit associative. Pour que ce soit respecté, il faudrait que la différences des deux expressions calculées précédemment fasse $0$.
Autrement dit :

$$(ac+b^2+b)(z-x)=0$$

Et pour respecter cette égalité, comme c’est un produit, si l’un est nul, le tout est nul donc pour que $\star$ soit associative il faut que :

• $ac+b^2+b=0$
• ou $z-x=0$

On cherche un lien entre $a,b$ et $c$ dont $(x-z)=0$ on peut l’oublier c’est pas ce qu’on veut.
Mais en prenant la première condition on obtient le lien suivant :

$$ac+b^2+b=0⟺a=\frac{b^2+b}{c}\text{avec }c\ne 0$$

Et voilà, on a trouvé le lien entre $a,b$ et $c$ pour que la loi soit associative. Vous pouvez vérifier avec le triplet $(a,b,c)$ tel que $a=1$, $b=1$ et $c=2$.

4 Soit \(G\) un groupe non-commutatif.

On se donne deux éléments \(a,b \in G\)

1. Résoudre l'équation d'inconnue \( x : xab=a\).
2. Que devient la solution si l'on suppose que \(G\) est commutatif.

Définition

Soit $(G,T)$ un groupe, on dit que $G$ est commutatif si et seulement si :

$$\forall x,y\in GxTy=yTx$$

C’est l’effet miroir

$\boxed{\text{Question 1}}$
Nous on cherche $x$.

$$\begin{array}{rl}xab& =a\\ xab{b}^{-1}& =a{b}^{-1}b{b}^{-1}=1\\ xa& =a{b}^{-1}\\ xa{a}^{-1}& =a{b}^{-1}{a}^{-1}\end{array}$$

D’où $x=a{b}^{-1}{a}^{-1}$ puisqu’on ne peux plus rien toucher.

$\boxed{\text{Question 2}}$
On suppose désormais que le groupe est commutatif.
Alors on a :

$$\begin{array}{rl}xab& =a\\ xab{b}^{-1}& =a{b}^{-1}b{b}^{-1}=1\\ xa& =a{b}^{-1}\\ xa{a}^{-1}& =a{b}^{-1}{a}^{-1}\\ x& =a{b}^{-1}{a}^{-1}\\ x& =a{a}^{-1}{b}^{-1}\text{par commutativiteˊ de }G\\ x& =b^{-1}\end{array}$$

5 On considère sur \(\mathbb{N}\) la loi de composition interne \( \star \) définie par :

$$ x \star y = |x-y| $$

1. Cette loi est-elle commutative ? Justifier.
2. Cette loi est-elle associative ? Justifiez.
3. Montrer que \(0\) représente l'élément neutre de \((\mathbb{N}, \star)\).
4. Montrer que tout élément de \(\mathbb{N}\) est inversible pour cette loi et préciser son inverse.
5. \((\mathbb{N}, \star)\) est-il un groupe ?

$\boxed{\text{Question 1}}$
Soit $(\mathbb{N},\star )$ une lci définie par $x\star y=|x-y|$.
Soit $x,y\in \mathbb{N}$ alors on a :

$$X=|x-y|Y=|y-x|$$

où $X,Y$ représentent respectivement $x\star y$ et $y\star x$.
Notre objectif est de déterminer si les deux expressions sont égales.

$$Y=|y-x|=|-(y-x)|=|-y+x|=|x-y|=X$$

J’ai utilisé les propriétés de commutativité de $(\mathbb{N},-)$ et d’égalité par l’inverse sur $(\mathbb{N},|x|)$ pour montrer qu’au final on a bien $X=Y$. On peut alors dire que la loi $\star$ est commutative.

$\boxed{\text{Question 2}}$
On se demande si $\star$ est commutative c’est à dire :

$$(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$$

est respectée.
Prenons $x=2$, $y=1$, $z=3$.
Alors :

• $(x\star y)\star z=|(|2-1|)-3|=|1-3|=|-2|=2$
• $x\star (y\star z)=|2-(|1-3|)|=|2-|-2||=|2-2|=|0|=0$

Les deux résultats sont différents, puisqu’on a trouvé un contre exemple pour lequel $\star$ n’est pas associative alors on peut en conclure que $\star$ n’est pas associative.

$\boxed{\text{Question 3}}$

Définition

Soit $(E,T)$ une loi. On dit que $e\in E$ est l’élément neutre de $T$ si et seulement si :

$$\forall x\in E,eTx=xTe=x$$

Soit $x\in \mathbb{N}$ alors on a :

$$x\star 0=|x-0|=|x|=x$$

Puisque la loi est commutative (montré en question 1) alors on sait que $x\star 0=0\star x$ ainsi on a bien obtenu :

$$x\star 0=0\star x=x$$

D’où $e=0$ est l’élément neutre de la loi $\star$.

$\boxed{\text{Question 4}}$

Définition

Soit $(E,T)$ une loi. On dit que les éléments de $E$ sont inversibles si ils admettent au moins un symétrique.
On note :

$$\forall x,y\in ExTy=yTx=e$$

où $e\in E$ représente l’élément neutre de la loi.

Soit $x,y\in \mathbb{N}$.
Alors si $y=x$ on a :

$$x\star y=y\star x=|x-y|=|x-x|=|0|=0$$

Ainsi tout élément de $\mathbb{N}$ sont inversibles, et admettent $x$ comme inverse.

$\boxed{\text{Question 5}}$

Définition

Soit $(G,T)$ un magma. On dit que $G$ est un groupe si et seulement si :

• $T$ est associative.
• $G$ admet un élément neutre $e\in G$ sur la loi $T$.
• $\forall x\in G$ admet un symétrique pour la loi $T$.

Puisque $G$ n’est pas associative (Démontré à la question 2) alors $G$ n’est par définition pas un groupe.

6 Soit \(M\) un monoïde.

Pour toute partie \(P\) de \(M\) il existe un plus petit sous-monoïde \(X\) de \(M\) contenant \(P\). On l'appelle sous-monoïde de \(M\) engendré par \(P\). On dit alors que \(P\) est un ensemble de générateur de \(X\).

1. Montrer que, pour tout \(k\) strictement positif, \(\{1, 2, 3, \ldots, k\}\) est un ensemble de générateur de \((\mathbb{N}, +)\).
2. Montrer que l'ensemble des nombres entiers premiers est un ensemble générateur de \((\mathbb{N}\backslash \{0\}, \times)\).