Fiche Méthode - Partiel

Les méthodes du TD1

Rappel Soit $X$ une variable avec $(x_1,\dots ,x_n)$ les $n$ données et ${\mathcal{E}}_{total}$ l’effectif total de cette série (le nombre de données). Alors la fréquence notée $f_i$ de $x_i$ est donnée par : $f_i=\frac{{\mathcal{E}}_{x_i}}{{\mathcal{E}}_{total}}$ Où ${\mathcal{E}}_i$ représente l’effectif de $x_i$ .

Moyenne d’un échantillon

==Rappel== Soit $X$ une variable avec $(x_1,\dots ,x_n)$ les $n$ données et ${\mathcal{E}}_{total}$ l’effectif total de cette série (le nombre de données). On note $\overline{x_n}$ la moyenne de la série définie par : $\overline{x_n}=\frac{\underset{i=1}{\sum ^n}{x}_i}{n}$

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Point méthode Calculer la moyenne d’une série, un échantillon.

• On calcul la somme de toutes les données.
• On divise par le nombre de données

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==Rappels==

• Soit $X$ une variable aléatoire avec $(x_1,\dots ,x_n)$ les $n$ données de l’échantilles (de la série). Alors l’étendue de la série notée $e$ est définie par : $e=x_{max}-x_{min}$

• Soit $X$ une variable aléatoire avec $(x_1,\dots ,x_n)$ les $n$ données de l’échantilles (de la série). Alors la médiane de la série est définie par : $med(X)=x_{\frac{n+1}{2}}\text{si }n\text{ est pair}$ >$med(X)=\frac{x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}\text{si }n\text{ est impair}$

Tracer la boîte à moustache

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Point méthode Tracer une boîte à moustache

• Déterminer les quartiles $q_1$, $q_2$ et $q_3$. En sachant que : $q_1=x_{25\%};q_2=med(X);q_3=x_{75\%}$
• Déterminer l’écart interquartile noté $Iq$ et défini par $Iq=q_3-q_1$
• Déterminer les bornes de votre boîte à moustache. J’ai décider de noter ces bornes $A$ et $B$. $A=q_1-1.5IqetB=q_3+1.5Iq$
  • Tracer votre boîte à moustache en respectant les bornes.
  • Tracer la position de la médiane à l’intérieur de votre boîte à moustache.
  • Placer (s’il y en a) les outliers (données hors de la boîte).

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==Rappel== Soit $X$ une variable associées à $n$ données alors, la variance notée $s_x^2$ est donnée par : $s_x^2=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\sum ^n}(x_i-\overline{x_n}{)}^2$ où $\overline{x}$ représente la moyenne de l’échantillon.

==Rappel== Soit $X$ une variable associées à $n$ données alors, l’écart type notée $s_x$ est donnée par : $s_x=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\sum ^n}(x_i-\overline{x_n}{)}^2}=\sqrt{s_x^2}$ où $\overline{x}$ représente la moyenne de l’échantillon et $s_x^2$ la variance. Ainsi, l’écart type représente la racine carré de la variance.

Calcul de la covariance par étapes

==Rappel== Soit $X$ une variable associées à $n$ données alors, la covariance notée $cov(X,Y)$ est donnée par : $s_{xy}=cov(X,Y)=\frac{\underset{i=1}{\sum ^n}(x_i-\overline{x_n})(y_i-\overline{y_n})}{n-1}$ où $\overline{x_n}$ et $\overline{y_n}$ représentent les moyennes respectives de chaque échantillons $X$ et $Y$.

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Point méthode Calculer la covariance de deux échantillons

• Tracer la table des avec les colonnes suivantes
  • $X$
  • $Y$
  • ${\mathcal{E}}_1=(x_i-\overline{x_n})$
  • ${\mathcal{E}}_2=(y_i-\overline{y_n})$
  • ${\mathcal{E}}_1\times {\mathcal{E}}_2$
• Remplir les colonnes une à une
• Faire la somme des valeurs de la dernière colonne
• Diviser le tout par $n-1$

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==Rappel== Le barycentre représente le point noté $\mathcal{B}$ (perso) de coordonnées $(\overline{x_n},\overline{y_n})$.

Méthode des moindres carré

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Point méthode Utiliser et comprendre la méthode des moindres carrés

• Déterminer l’équation recherchée $Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X$
• Déterminer les valeurs des coefficients $\widehat{{\beta }_0}$ et $\widehat{{\beta }_1}$ en sachant que : $\widehat{{\beta }_1}=\frac{s_{xy}}{s_x^2}et\widehat{{\beta }_0}=\overline{y_n}-\widehat{{\beta }_1}\overline{x_n}$ où :
  • $s_{xy}$ représente la covariance
  • $s_x^2$ la variance de $X$
  • $\overline{x_n}$ et $\overline{y_n}$ les moyennes des séries
• En déduire l’équation de la droite

On ajoute les ”^” car ce sont des valeurs estimées !

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==Rappels== Soit $X$ une variable associées à $n$ données alors, on définit les coefficients de corrélation et de détermination comme suit :

• Coef. de corrélation ${\Omega }_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_y}$
• Coef. de détermination $R^2=({\Omega }_{xy}{)}^2={\left(\frac{s_{xy}}{s_y}\right)}^2$ où $s_{xy}$ représente la covariance et $s_y$ l’écart type de $Y$.