Corrigé du TD2

Exercice 1

Une entreprise emploie 500 personnes qui déjeunent à la cantine à l’un ou à l’autre des deux services avec une probabilité égale de manger au premier ou au second service. Si le gérant veut avoir une probabilité supérieure à $95\%$ de disposer d’assez de couverts, combien devra-t-il en prévoir pour chacun des deux services.

Avant de commencer à répondre aux questions Je récupère les informations importantes de l’exercice :

• effectif total $n=500$
• Notons $1$ le fait de “manger au premier service” et $0$ “manger au second service”. Ainsi, puisque les probabilités de manger à l’un ou à l’autre des service doivent être égales. Alors, chaque employé a $\frac{1}{2}$ chance de manger au premier ou au second service. On note alors $P(0)=P(1)=\frac{1}{2}$
• On cherche combien de couverts minimum le gérant doit-il disposer à chaque service pour en avoir assez. On notera ce nombre $k$.

1. On numérote les personnes par ordre alphabétique . On note $X_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la $i\grave{e}me$ personne mange au premier service sinon $0$. Quelle est la loi de $X_i$ pour $1\le i\le 500$ ? Les deux possibilités le la loi $X_i$ peuvent être vu comme un échec ou une victoire, ainsi $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $P$. On note : $X_i⇝Ber(P)$ Et lorsque l’on a récupéré les infos, on a défini la loi qui dit que : $P(X_i=0)=\underset{P(X_i=1)}{\underbrace{1-P(X_i=0)}}=\frac{1}{2}$ Ainsi on a : $X_i⇝Ber\left(\frac{1}{2}\right)$

2. On suppose que les variables aléatoires $X_i$ sont indépendantes pour $1\le i\le 500$. Quelle est la loi exacte de la variable aléatoire $S_n=\underset{i=1}{\sum ^{500}}{X}_i$ L’hypothèse de la question dit que chaque variable $X_i$ sont indépendantes, cela semble raisonnable dans le cas d’une numérotation par ordre alphabétique. On rappel que l’on chercher le nombre minimum $k$ de couverts à positionner à chaque services. Ici, dans notre cas, $S_n$ représente le nombre de personnes qui mangent au premier service. On note alors : $P(X_i=1)=S_n$ Si $S_n$ détermine le nombre de personnes qui mangent au premier service, alors le restant mangeront au second service, on note alors : $P(X_i=0)=500-S_n$ Ainsi on chercher le nombre minimum de couverts $k$ à disposer à chaque service, pour être certain de disposer d’assez de couverts à chaque service. C’est à dire : $S_n\le ket500-S_n\le k$ La loi exacte de la variable aléatoire $X_i$ est alors donnée par : $P(S_n\le ket500-S_n\le k)\ge 0.95$ La loi de $S_n$ est une loi binomiale $\mathcal{B}(\underset{effectif}{\underbrace{n}},\underset{proba}{\underbrace{p}})=\mathcal{B}(500,\frac{1}{2}$).

3. Calculer $E(S_n)$ et $Var(S_n)$.

Rappel

• $E(S_n)$ représente l’espérance.
• $Var(S_n)$ représente la variance. Puisque $S_n$ suit une loi binomiale tel que $X_i⇝\mathcal{B}(n,p)$ alors on a : $E(S_n)=n\times petVar(S_n)=npq=np(1-p)$ où $q$ représente la probabilité “d’échec”, autrement dit $q=1-p$.

Ainsi, en utilisant le rappel fourni on a : $E(S_n)=500\times \frac{1}{2}=250etVar(S_n)=500\times \frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2})=125$ 4. Que représente la variable aléatoire $(500-S_n)$ dans le contexte ? Comme évoquée précédemment, la variable aléatoire notée $(500-S_n)$ représente en fait le nombre de personnes qui mangent au second service.

5. Par quelle loi peut-on approcher la loi de $S_n$ ? Préciser ses paramètres. On utilise une loi normale de paramètres : $S_n^{\ast }⇝\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)=\mathcal{N}(E(S_n),Var(S_n))=\mathcal{N}(250,125)$ On peut approcher cette loi à l’aider d’un loi normale centrée et réduite.

Rappel Lorsque l’on souhaite centrer et réduire une loi normale, alors pour une variable $X$ tel que $X⇝\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ Pour centrer et réduire, afin de suivre une loi normale de paramètre $0$ et $1$, on a : $\frac{X-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2}}⇝\mathcal{N}(0,1)$

Que l’on vas noter $S_n^{\ast }$ défini par : $S_n^{\ast }=\frac{S_n-250}{\sqrt{125}}⇝\mathcal{N}(0,1)$

6. Déterminer le paramètre $k$. On rappel que l’on cherche : $P(S_n\le ket500-S_n\le k)\ge 0.95$ On a :

• $500-S_n\le k⟺S_n\ge 500-k$ Ainsi on obtient alors

$$P(500-k\le S_n\le k)\ge 0.95$$

Ce qui donne en centrant et réduisant, en fin de compte :

$$P\left(\frac{500-k-250}{\sqrt{125}}\le S_n^{\ast }\le \frac{k-250}{\sqrt{125}}\right)=P\left(\frac{250-k}{\sqrt{125}}\le S_n^{\ast }\le \frac{k-250}{\sqrt{125}}\right)$$

où :$\frac{S_n-250}{\sqrt{125}}⇝\mathcal{N}(0,1)$ En négligeant les erreurs d’approximation on cherche $k$ minium tel que : $\varphi \left(\frac{250-k}{\sqrt{125}}\right)-\varphi \left(\frac{k-250}{\sqrt{125}}\right)\ge 0.95$

==Rappel== $\varphi (-x)=1-\varphi (x)$

Ainsi grâce au rappel effectué on a : $2\varphi \left(\frac{250-k}{\sqrt{125}}\right)-1\ge 0.95⟺\varphi \left(\frac{250-k}{\sqrt{125}}\right)=\frac{0.95+1}{2}=0.975$ Ainsi on a :$\varphi \left(\frac{250-k}{\sqrt{125}}\right)=0.975$ Par lecture des quantiles de la loi normale, on a $\varphi (1.96)=0.975$. Ainsi on a : $k\ge 250+1.96\times \sqrt{125}⟺k\ge 271.91$

7. Interpréter la valeur de $k$ dans le contexte. Ainsi, puisque $k\ge 271.91$ pour que le gérant soit certain d’avoir assez de couverts pour les deux services à 95%, il doit placer au moins 272 couverts à chaque services.

Exercice 2

Soit $X$ une variable aléatoire de loi gaussienne centrée et réduite et $b$ un nombre réel strictement positif fixé.

Avant de commencer l’exercice Je récupère les infos importante.

• $X$ suit une loi gaussienne centrée et réduite $X⇝\mathcal{N}(0,1)$.
• $b$ un réel strictement positif. $b>0$.

1. Représenter $P(x<X<x+b)$ sur un graphique et faire apparaître la loi de $X$. Puisque $X⇝\mathcal{N}(0,1)$ alors on peut représenter graphiquement la densité de la loi gaussienne centrée et réduite. Puisque $X$ suit une loi gaussienne centrée et réduite alors elle est de paramètres $(0,1)=(\mu ,{\sigma }^2)$. Admet une densité de la forme : $f_d(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}$ Ici, puisque $X$ suit une loi gaussienne centrée et réduite alors : $f_d(x)=\frac{1}{1^2\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{(x-0{)}^2}{1^2}}=\frac{1}{1^2\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{x^2}{2}}$ On note $h=P(x<X<x+b)$ Ainsi on a : $h=\varphi (x)-\varphi (x+b)$ Où $\varphi$ représente la fonction de répartition de $X$.

2. Déterminer $x$ tel que $P(x<X<x+b)$ soit maximum. On cherche $x$ tel que $h^{\prime }(x)=0$. C’est à dire :

$$\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(x)& =0\\ {\varphi }^{\prime }(x)-{\varphi }^{\prime }(x+b)& =0\\ f(x)-f(x+b)& =0\end{array}$$

Ce qui revient à dire que $(x+b{)}^2=x^2$. En gros on a :

$$\{\begin{array}{ll}x+b& =x\text{ impossible car }b=0\text{ impossible}\\ x+b& =-x\end{array}$$

On a alors d’après la seconde ligne : $2x=-b$ d’où $x=-\frac{b}{2}$. Donc $h^{\prime \prime }(x)<0$.

3. Exprimer cette probabilité maximum en fonction de $\varphi$ la fonction de répartition de $X$. Pour quelle valeur de $x$ est-elle égale à $0.95$ ? Ainsi, on a :

$$\begin{array}{rlr}P(x<X<x+b)& =P\left(-\frac{b}{2}<X<-\frac{b}{2}+b\right)& =0.95\\ & =P\left(-\frac{b}{2}<X<\frac{b}{2}\right)& =0.95\\ & =\varphi \left(-\frac{b}{2}\right)+\varphi \left(\frac{b}{2}\right)& =0.95\\ & =2\varphi \left(\frac{b}{2}\right)-1& =0.95\end{array}$$

On cherche donc $b$ tel que :

$$\begin{array}{rl}2\varphi \left(\frac{b}{2}\right)-1& =0.95\\ \varphi \left(\frac{b}{2}\right)& =\frac{0.95+1}{2}=0.975\end{array}$$

Par lecture de la table de la loi normale centrée et réduite on a $\frac{b}{2}=1.96$ d’où $b=2\times 1.96=2.92$.

Exercice 3

Lire sur la table du Khi-deux. Soit $X$ une variable aléatoire distribuée selon une loi du Khi-deux $X_n^2$.

1. Déterminer la valeur de $x$ solution de l’équation $P(X\ge x)=0.01$ pour $n=7$. On a $X⇝\mathcal{X}(7)$. Puisque $X\ge x$, on peut directement lire la table $(0.01,7)$ Et on trouve alors $x=18.475$.

2. Déterminer la valeur de $x$ solution de l’équation $P(X\le x)=0.05$ pour $n=10$. On a $X⇝\mathcal{X}(10)$. Puisque $X\le x$ alors, on ne peux pas lire directement sur la table. Je vais alors calculer $1-P=1-0.05=0.95$ Ainsi je lit la table case $(0.95,10)$. Et on trouve alors $x=3.940$.

3. **Déterminer la valeur de $x$ solution de l’équation $P(X\le x)=0.90$ pour $n=15\ast \ast Ona$X \leadsto \mathcal{X}(15)$.Puisque$X \leq x$alors,onnepeuxpasliredirectementsurlatable.Jevaisalorscalculer$1-P=1-0.9=0.1$Ainsijelitlatablecase$(0.1, 15)$.Ainsi,ontrouve$x=22.307$.

---

Point méthode Déterminer la solution d’une équation avec la table de Khi-deux. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Khi-deux de paramètre $n$.

• Pour $P(X\ge x)=\alpha$.
  • Je lis la table $ligne=n$ et $colonne=\alpha$
• Pour $P(X\le x)=\alpha$
  • Je calcul $a=1-\alpha$
  • Je lis la table à $ligne=n$ et $colonne=a$

---

Exercice 4

Lire sur la table de Student Soit $X$ une variable aléatoire distribuée qui suit une loi de Student $T_n$.

1. Déterminer la valeur $x$ solution de l’équation $P(x\ge x)=0.01$, pour $n=16$. On a $X⇝T_n(16)$ et $P(X\ge x)=0.01$. Je sais que $0.01=\frac{0.02}{2}$ ainsi on lit la table à la ligne $16$ et à la colonne $0.02$. On obtient $x=2.583$.

2. Déterminer la valeur $x$ solution de l’équation $P(x\le x)=0.05$, pour $n=30$. On a $X⇝T_n(30)$ et $P(X\ge x)=0.05$. Je sais que $0.05=\frac{0.1}{2}$, mais je suis dans le cas $X\le x$ alors la table me donnera $-x$, ce sera à moi d’inverser le signe pour trouver mon inconnue. En lisant la table à la ligne $30$ et à la colonne $0.1$, On obtient $-x=1.697⟺x=-1.697$.

3. Déterminer la valeur $x$ solution de l’équation $P(x\le x)=0.90$, pour $n=8$. On a $X⇝T_n(8)$ et $P(X\ge x)=0.90$. Je sais que $0.90=\frac{1.8}{2}$, Or $1.8>1$ alors, à la place du $0.9$ de départ on vas prendre $0.1$. On recommence avec :

• $P(X\le x)=0.1$ et $n=8$. Alors, on sait que $0.1=\frac{0.2}{2}$. On lit la table à la ligne $8$ et à la colonne $0.2$. Ainsi on obtient $x=1.397$.

---

Point méthode Déterminer la solution d’une équation avec la table de Student. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Student $T_n$ de paramètre $n$.

• Pour $P(X\ge x)=\alpha$.
  • Je détermine $\beta =2\alpha$
  • Je lis la table à la $ligne=n$ et $colonne=\beta$
• Pour $P(X\le x)=\alpha$
  • Je détermine $\beta =2\alpha$
  • Je détermine $-x$ avec la table à la $ligne=n$ et $colonne=\beta$
  • J’inverse le signe pour trouver $x$
• Dans le cas où $\beta =2\alpha >1$ alors on recommence le raisonnement avec $\alpha =0.1$ donc en résolvant l’équation $P(X\le x)=0.1$.

---