TD3 - Révisions pour le partiel
EXERCICES COMPLÉMENTAIRES
Relations d'ordre et diagramme de Hasse
1
On considère la relation \(\leq\) définie sur \(\mathbb{N}^*\) par :
$$
n \leq m \Longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}^{*}, \quad m = kn
$$
- Montrer que \(\leq\) est une relation d'ordre.
- On considère les ensembles \(A=\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) et \(B=\{2,3,4,6,12\}\). Donner le graphe de la relation \(\leq\) sur \(A\) puis sur \(B\).
- Déterminer les extremas de \(\leq\) sur ces deux parties de \(\mathbb{N}^{*}\).
2
On considère la relation \(\mathcal{R}\) définie sur \(\mathbb{N}^*\) par :
$$
p \mathcal{R} q \Longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}^{*}, \quad q = p^{k}
$$
- Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d'ordre.
- \(\mathcal{R}\) représente une relation d'ordre total ou partiel ?
3
On considère l'ensemble suivant :
$$
E_{\mathbb{N}_{12}^{*}} = \{ x \in \mathbb{N}^{*} \mid x \leq 12\}
$$
Tracer le diagramme de Hasse de \(E_{\mathbb{N}_{12}^{*}} \) muni de la relation \( | \) puis déterminer les extremas sur les parties de \(E=E_{\mathbb{N}_{12}^{*}} \) puis de \(E=\mathbb{N}^{*}\).
- \(A_{1}=\{1, 2, 4, 8\}\)
- \(A_{2}=\{4,6\}\)
- \(A_{3}=\{2,3,6,9\}\)
- \(A_{4}=\{1,12\}\)
4
- Soit \(\mathbb{P}\) la relation binaire définie sur \( \mathbb{Z} \) par : $$ \forall (a, b) \in \mathbb{Z}^2, \; a\mathbb{P}b \Leftrightarrow a - b \text{ est pair} $$ Montrer que \(\mathbb{P}\) est une relation d'équivalence et déterminer ses différentes classes d'équivalences.
- Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). Soit \( \mathcal{R}_n \) une relation binaire définie sur \( \mathbb{Z} \) par : $$ \forall (a, b) \in \mathbb{Z}^2, \; a\mathcal{R}b \Leftrightarrow n \text{ divise } a - b $$ Montrer que \( \mathcal{R}_n \) est une relation d'équivalence et déterminer ses différentes classes d'équivalences.
5
On considère la relation définie sur \( \mathbb{N} \) suivante :
$$
x \mathcal{Y}y \Longleftrightarrow x \equiv b \quad (mod 3)
$$
Montrer que \(\mathcal{Y}\) est une relation d'équivalence puis déterminer ses classes d'équivalences ainsi que son ensemble quotient.