Récap - 13 mars

1 Les suites arithmétiques

Définition générale

Définition suite arithmétique Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite. On parle de suite arithmétique lorsque chaque terme suivant peut se déduire à partir du précédant un ajoutant un réel. Ce réel est souvent appelé la raison et est noté $r\in \mathbb{R}$.

Ainsi, en respectant la définition ci-dessus, nous sommes capable de déterminer le terme suivant d’une suite arithmétique.

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Terme général $u_n$

Pour déterminer le terme général d’une suite arithmétique ($u_n$), rien de trop compliqué :

• On détermine la ‘distance’ entre le premier terme de la suite, et le terme $n$ à calculer. On notera ce dernier $N$.
• On ajoute alors $N-fois$ la raison $r$ au premier terme de la suite pour obtenir $u_n$. Si on récapitule un peu. (1) On suppose que $u_0$ est le premier terme de la suite. Alors on calcul la distance entre $u_0$ et $u_n$ qui est donnée par $N=n-0=n$ . Ainsi, on en déduit que : $$\begin{array}{rl}{u}_n& =u_0+\underset{N-fois}{\underbrace{r+r+\dots +r}}\\ & =u_0+Nr\\ & =u_0+nr\end{array}$$ Dans le cas ou le premier terme de la suite est $u_0$. (2) Généralisons cette aspect, en supposant que $u_p$ avec $p\in \mathbb{N}$ est le premier terme de la suite $u_n$. Alors on calcul la distance entre $u_p$ et $u_n$ qui est donnée par $N=n-p$ . Ainsi, on en déduit que : $$\begin{array}{rl}{u}_n& =u_p+\underset{N-fois}{\underbrace{r+r+\dots +r}}\\ & =u_p+Nr\\ & =u_p+(n-p)r\end{array}$$

On retiendra alors la seconde formule pour le terme général d’une suite arithmétique, c’est à dire :

$$u_n=u_p+(n-p)r$$

Somme d’une suite arithmétique

La somme des $n$-premiers termes d’une suite arithmétique notée $S_n$ ou encore $S_{u_n}$ est définie comme suit :

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\underset{k=0}{\sum ^n}{u}_k\\ & =u_0+u_1+\dots +u_n\\ & =\frac{n}{2}(u_p+u_n)\end{array}$$

Puisque $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique alors je connais la forme du terme général (par définition). Ainsi, en le remplaçant on obtient :

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{n}{2}(u_p+u_n)\\ & =\frac{n}{2}\left[u_p+u_n+(n-p)r\right]\\ & =\frac{n}{2}[2up+(n-p)r]\end{array}$$

Monotonie d’une suite arithmétique

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r\in \mathbb{R}$, alors :

• Si $r=0$ alors la suite est constance (= stationnaire).
• Si $r>0$ alors la suite est croissante.
• Si $r<0$ alors la suite est décroissante.

2 Les suites géométriques

Définition générale

Définition suite géométrique Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite. On parle de suite géométrique lorsque chaque terme suivant peut se déduire à partir du précédant un multipliant par un réel. Ce réel est souvent appelé la raison et est noté $q\in \mathbb{R}$.

Ainsi, en respectant la définition ci-dessus, nous sommes capable de déterminer le terme suivant ($u_{n+1}$) d’une suite géométrique.

$$u_{n+1}=u_n\times q$$

Terme général $u_n$

Pour déterminer le terme général d’une suite géométrique $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, rien de trop compliqué :

• On détermine la ‘distance’ entre le premier terme de la suite, et le terme $n$ à calculer. On notera ce dernier $N$.
• On multiplie alors $N-fois$ la raison $q$ au premier terme de la suite pour obtenir $u_n$. (1) On suppose que $u_0$ est le premier terme de la suite. Alors on calcul la distance entre $u_0$ et $u_n$ qui est donnée par $N=n-0=n$ . Ainsi, on en déduit que : $$\begin{array}{rl}{u}_n& =u_0\times \underset{N-fois}{\underbrace{q\times q\times \dots \times q}}\\ & =u_0\times q^N\\ & =u_0\times q^n\end{array}$$

(2) Généralisons cette aspect, en supposant que $u_p$ avec $p\in \mathbb{N}$ est le premier terme de la suite $u_n$. Alors on calcul la distance entre $u_p$ et $u_n$ qui est donnée par $N=n-p$ . Ainsi, on en déduit que : \Large{ \begin{align*} u_n &= u_p \times \underbrace{q \times q \times \ldots \times q}_{N-fois} \\ &= u_p \times q^N \\ &= u_p \times q^{n-p} \end{align*}} On retiendra alors la seconde formule pour le terme général d’une suite arithmétique, c’est à dire :

$$u_n=u_p\times q^{n-p}$$

Somme d’une suite géométrique

La somme des $n$-premiers termes d’une suite géométrique avec ($q\in \mathbb{R}$ comme raison) notée $S_n$ ou encore $S_{u_n}$ est définie comme suit :

CAS 1 - $q=1$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\underset{k=0}{\sum ^n}{u}_k\\ & =n\times u_p\end{array}$$

CAS 2 - $q\ne 1$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\underset{k=0}{\sum ^n}{u}_k\\ & =u_p\frac{1-q^n}{1-q}\end{array}$$

Monotonie d’une suite géométrique

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q\in \mathbb{R}$, alors :

• Si $q=1$ alors la suite est stationnaire.
• Si $q=-1$ alors la suite oscille entre deux valeurs.
• Si $|q|>1$ alors la suite diverge (vers $\pm \infty$).
• Si $|q|<1$ alors la suite converge vers $1$.